Question

6．已知函数f（x）=x²-4x+c只有一个零点，且函数g（x）=x（f（x）+mx-5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m的取值范围是-$\frac{1}{3}$$＜m＜\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意可得c=4，进而得出g（x）=x（f（x）+mx-5）=x²+（m-4）x²-x，函数在（2，3）上不是单调函数，等价于g'（x）=0在（2，3）上只有一根，利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=x²-4x+c只有一个零点，
∴c=4，
∴g（x）=x（f（x）+mx-5）=x²+（m-4）x²-x，
∵在（2，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=0在（2，3）上只有一根，
∵g'（x）=3x²+2（m-4）x-1，g'（0）=-1，
∴g'（2）＜0，g'（3）＞0，
∴-$\frac{1}{3}$$＜m＜\frac{5}{4}$．

点评 考查了导函数和函数单调性的关系和二次函数的应用．