Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$
（1）写出这个函数的定义域；
（2）判断该函数在区间（-1．+∞）上的单调性．并用函数的单调性定义证明你的结论
（3）求出函数g（x）=f（x）+3在区间[0.2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由1+x≠0，可得x≠-1，即可得到定义域；
（2）函数f（x）在区间（-1．+∞）上为减函数；运用单调性定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；
（3）运用（2）的结论，计算即可得到所求最值．

解答 解：（1）由1+x≠0，可得x≠-1，
即有定义域为{x|x≠-1，x∈R}；
（2）函数f（x）在区间（-1．+∞）上为减函数；
证明：设-1＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$，
由-1＜x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0，（1+x₁）（1+x₂）＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）在（-1．+∞）上为减函数；
（3）由（2）可得，函数g（x）=f（x）+3在[0，2]上为减函数，
即有f（0）取得最大值，且为1+3=4；
f（2）取得最小值，且为3-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断及证明，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，属于基础题．