Question

8．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x²，则下列不等式在R上恒成立的是（　　）

• A． x²•f（x）≥0
• B． x²•f（x）≤0
• C． x²•[f（x）-1]≤0
• D． x²•[f（x）-1]≥0

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论

解答 解：∵构造函数g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），
∵2f（x）+xf′（x）＞x²＞0，
令g′（x）=0，解得x=0，
当x＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴当x=0时，函数有最小值，g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）≥0，
即x²•f（x）≥0，
故选：A．

点评 本题主要考查导数的应用，根据不等式关系构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．