Question

18．若x=1是函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$的一个极值点，则f（x）的极大值为-6．

Answer 1

分析 先求出a的值，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极大值即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-a}{{（x+1）}^{2}}$，
若x=1是函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{x+1}$的一个极值点，
则x=1是方程x²+2x-a=0的根，
∴1+2-a=0，解得：a=3，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x+1}$，f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（-3）=-6，
故答案为：-6．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．