Question

8．若cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，则$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值为（　　）

• A． $\frac{5}{9}$
• B． 0
• C． -$\frac{5}{18}$
• D． -$\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 由cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，两边平方可得：2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．再利用和差公式、同角三角函数基本关系式即可得出$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$．

解答 解：∵cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，∴1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，∴2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．
∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（sin2α-cos2α）+1}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα+2si{n}^{2}α}{1+\frac{sinα}{cosα}}$=2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．