Question

（2010•崇明县二模）若f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=

1

2-x

，以下命题：
①x＞0时，f(x)=

1

x-2

；
②f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
③f（x）的反函数f^-1（x）的定义域为(-

1

2

，

1

2

)；
④函数y=f（x）的图象与函数y=f（x-s）-t的图象关于点(

s

2

，

t

2

)对称．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出x＞0时的解析式，再作判断．
②在①的基础上，判断单调性．
③f（x）的反函数f^-1（x）的定义域为即为f（x）的值域，转化为求f（x）的值域
④根据图象对称的定义，进行推导论证，判断正误．

解答：解：①当x＞0时，-x＜0，f（-x）═

1

2-(-x)

=

1

2+x

，f（x）=-f（-x）=-

1

2+x

 ①错
②由①，f（x）在区间（0，+∞）y随x的增大而增大，是增函数．②对．
③f（x）的反函数f^-1（x）的定义域即为f（x）的值域．由于f（x）≠0，0∉(-

1

2

，

1

2

)；③错．
④设p（x，y）是函数y=f（x-s）-t的图象上任意一点，则有y=f（x-s）-t④′
p关于点(

s

2

，

t

2

)的对称点p′（s-x，t-y）由④′得不出f（s-t）=t-y，所以点p′不一定在函数y=f（x）的图象上．④错．
故选A

点评：本题考查函数的奇偶性、反函数概念、图象的对称性．考查转化、计算、论证能力．