Question

在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d，且求的面积．

 

 

Answer 1

（1）；（2）d＝，．

【解析】

试题分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；

（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；再联立直线AB的方程与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求出弦AB的长，从而由三角形的面积公式就可求出的面积．

试题解析：（1）由题设知，a＝2，b＝，故M（－2，0），N（0，－），所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，

又直线PA过坐标原点，所以k＝＝. 5分

（2）直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得

，解得x＝±，

因此P，A.

于是C，直线AC的斜率为＝1，

故直线AB的方程为x－y－＝0.

因此，d＝＝. 10分

，消去y，得

15分

考点：1．直线斜率的求法；2．椭圆的标准方程和简单的几何性质；3．直线与椭圆的位置关系．