Question

19．已知ABCD为凸四边形，AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则ABCD面积的最大值为2$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 设AC=x，在△ABC和△ACD中，分别由余弦定理可得15cosD-8cosB=7，①，由面积可得8sinB+15sinD=2S，②①²+②²解三角函数的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
联立可得15cosD-8cosB=7，①
又四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$×2×4sinB+$\frac{1}{2}$×3×5sinD
=$\frac{1}{2}$（8sinB+15sinD），即8sinB+15sinD=2S，②
①²+②²可得64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
化简可得-240cos（B+D）=4S²-240，
由于-1≤cos（B+D）≤1，∴-240≤4S²-240≤240，
∴0≤4S²≤480，解得S≤2$\sqrt{30}$，
当cos（B+D）=-1即B+D=π时取等号，
∴S的最大值为2$\sqrt{30}$，
故答案为：2$\sqrt{30}$．

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及不等式的性质，属中档题．