Question

14．已知函数f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3，且函数f（x）的最小值为19，求m的值．

Answer 1

分析 先把函数化成关于sinx的函数，利用换元法把问题转化为二次函数的问题，讨论对称轴的位置，判断出函数的最小值的表达式，然后列关于m的方程求得m的值．

解答 解：f（x）=2msinx-2cos²x+$\frac{{m}^{2}}{2}$-4m+3
=2sin²x+2msinx+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，
令t=sinx，则-1≤t≤1，
f（t）=2t²+2mt+$\frac{1}{2}$m²-4m+1，函数的对称轴为t=-$\frac{m}{2}$，
当-1≤-$\frac{m}{2}$≤1，即-2≤m≤2时，
f（t）_min=f（-$\frac{m}{2}$）=-4m+1=19，求得m=-$\frac{9}{2}$（舍），
当-$\frac{m}{2}$≥1，即m≤-2时，f（t）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$m²-2m+3=19，求得m=-4或8（舍去），
当-$\frac{m}{2}$≤-1，即m≥2时，f（t）_min=f（-1）=$\frac{1}{2}$m²-6m-16=19，求得m=-6+2$\sqrt{17}$或-6-2$\sqrt{17}$（舍去）．
综上所述知m=-4或-6+2$\sqrt{17}$．

点评 本题主要考查了三角函数的最值问题，一般是转化为二次函数的问题，利用二次函数的性质求得最值，是中档题．