Question

（12分）（原创）已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数。

（1）求的解析式，并求的对称中心；

（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围。

Answer 1

（1），对称中心为：，（2）或.

【解析】

试题分析：函数相邻两对称轴间的距离为，说明函数的周期为，利用周期公式，将的图像先向左平移个单位，即，再向下平移1个单位，，函数为奇函数，只需，解出，得，进而求出对称中心坐标即可；（2）由于，在函数值从0增到1，在函数值从1减到0，对于任意给定的任意值，有两个值与之对应，令，方程化为：，有两个不等式跟只需方程在上仅有一个实根，借助一元二次方程的根的分布解决即可.

试题解析：（1）由条件得：，即, 则，

又为奇函数，令，，，，

由，得对称中心为：

（2）,又有（1）知：，则，的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令则由原命题得：在上仅有一个实根。

令，

则需或，

解得：或.

考点：1.三角函数图像与性质；2.的图像变换；3.一元二次方程的根的分布；