Question

现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系依次是：其中P与x平方根成正比，且当x为4（万元）时P为1（万元），又Q与x成正比，当x为4（万元）时Q也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资．
（Ⅰ）分别求出P，Q与x的函数关系式；
（Ⅱ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）设P，Q与x的比例系数分别是k₁，k₂，则P=k1

x

，Q=k₂x，根据当x为4（万元）时，P、Q为1（万元），可求出P，Q与x的函数关系式；
（Ⅱ）甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3-x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元，根据（I）可得利润函数，利用配方法可求最大利润．

解答： 解：（I）设P，Q与x的比例系数分别是k₁，k₂，则P=k1

x

，Q=k₂x且都过（4，1）…（1分）
所以：P=

x

2

(x≥0)…（2分），Q=

x

4

(x≥0)…（2分）
（Ⅱ）设甲投资到A，B两项目的资金分别为x（万元），（3-x）（万元）（0≤x≤3），获得利润为y万元…（1分）
由题意知：y=

x

2

+

3-x

4

=-

1

4

(

x

-1)2+1…（1分）
所以当

x

=1，即x=1时，y_max=1…（2分）
答：甲在A，B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元..（1分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确确定函数解析式是关键．