Question

8．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+m（m∈R），若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，则m的值为-$\frac{1}{3}$或$-\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标写出切线方程，求出g（x）的切点坐标，即可求解m．

解答 解：f（x）=lnx得f′（x）=$\frac{1}{x}$，
函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，f（1）=0．
切线方程为：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它与g（x）的图象相切，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+m（m∈R），g′（x）=x²，
令x²=1，可得x=±1，切点的横坐标为1时，切点为：（1，0）此时m=$-\frac{1}{3}$，
切点横坐标为：-1时，切点坐标为：（-1，-2），此时-2=-$\frac{1}{3}+m$，解得m=$-\frac{5}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$或$-\frac{5}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线和抛物线相切的条件，属于中档题．