Question

7．在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=AD=4AB=4，且AC⊥PA，M为线段CP上一点．
（1）求证：平面ACD⊥平面PAM；
（2）若PM=$\frac{1}{4}$PC且AP=$\frac{1}{2}$AD，求证：MB∥平面PAD，并求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CD⊥PA，AC⊥PA，从而PA⊥平面ACD，由此能证明平面ACD⊥平面PAM．
（2）过M作MN⊥平面PAD，交DP于N，连结AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而BM∥AN，由此能证明MB∥平面PAD．以A为原点，AD为x轴，AP为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥M-ABCD的体积．

解答 证明：（1）∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵AC⊥PA，CD∩AC=C，
∴PA⊥平面ACD，
∵PA?平面PAM，∴平面ACD⊥平面PAM．
（2）过M作MN⊥平面PAD，交DP于N，连结AN，
∵CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=AD=4AB=4，且AC⊥PA，
M为线段CP上一点，PM=$\frac{1}{4}$PC且AP=$\frac{1}{2}$AD，
∴MN$\underset{∥}{=}$AB，∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM∥AN，
∵BM?平面PAD，AN?平面PAD，
∴MB∥平面PAD．
以A为原点，AD为x轴，AP为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
C（4，0，4），P（0，2，0），M（1，$\frac{3}{2}$，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{3}{2}$，1），
M到平面ABCD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{2}$，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}（4+1）×4$=10，
∴四棱锥M-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×d×{S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×10$=5．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．