Question

2．已知函数f（x）=|2x-l|+|x-a|
（1）当a=2时，求f（x）≤3的解集
（2）当x∈[l，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，当a=2时，f（x）=|2x-l|+|x-2|，即可得|2x-l|+|x-2|≤3，利用零点分段讨论法可得|2x-l|+|x-2|≤3?$\left\{\begin{array}{l}{（1-2x）+（2-x）≤3}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（2-x）≤3}\\{\frac{1}{2}≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（x-2）≤3}\\{x≥2}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，分析可得2x-4≤a-x≤4-2x，即3x-4≤a≤4-x恒成立，结合3x-4的最大值与4-x的最小值分析可得a的值．

解答 解：（1）根据题意，当a=2时，f（x）=|2x-l|+|x-2|，
则f（x）≤3即|2x-l|+|x-2|≤3?$\left\{\begin{array}{l}{（1-2x）+（2-x）≤3}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（2-x）≤3}\\{\frac{1}{2}≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（x-2）≤3}\\{x≥2}\end{array}\right.$，
解可得：0≤x≤2，即不等式的解集为[0，2]．
（2）当x∈[l，2]时，f（x）=|2x-l|+|x-a|=2x-1+|x-a|，
若f（x）≤3恒成立，即2x-1+|x-a|≤3恒成立，
则有|x-a|≤4-2x，
则有2x-4≤a-x≤4-2x，即3x-4≤a≤4-x恒成立，
又由x∈[l，2]，则3x-4的最大值为6-4=2，4-x的最小值为4-2=2，
即有a=2
故a的值为2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．