Question

12．已知$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$且sinα+cosα=$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，
（1）求cosα的值；
（2）若sin（α-β）=-$\frac{3}{5}，β∈（\frac{π}{2}，π）$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用两边平方，可得sinα的值，利用同角三角函数关系式求解cosα的值；
（2）根据cosβ=cos[α-（α-β）]根据两角和与差的公式打开，可求cosβ的值．

解答 解：（1）∵$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$且sinα+cosα=$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α=1}\end{array}\right.$，
解得：sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵sin α=$\frac{1}{2}$，又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴cosα=-$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
又sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，得cos（α-β）=$\frac{4}{5}$
cos β=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{-4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式和构造思想，构造cosβ=cos[α-（α-β）]利用两角和与差的公式打开求解是关键．属于中档题．