Question

【题目】已知

（1）求；

（2）我们知道二项式的展开式,若等式两边对求导得，令得.利用此方法解答下列问题：

①求；

②求.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①2n；②4n2－2n.

【解析】

（1）采用赋值法，令，求系数的和；（2）①原式两边求导，得，再赋值求值；②两边同时乘以，然后两边再求导，赋值求值.

（1） 对于(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

取x=1得a0＋a1＋a2＋…＋an=1.

（2） ①对(2x－1)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边求导得2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1，

取x=1得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan=2n.

②将2n(2x－1)n－1=a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1两边乘以x得

2n(2x－1)n－1·x=a1x＋2a2x2＋3a3x3＋…＋nanxn，

两边求导得

2n[2(n－1)(2x－1)n－2x＋(2x－1)n－1]=a1＋22a2x＋32a3x2＋…＋n2anxn－1，

取x=1得12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an=4n2－2n.