【题目】已知函数,
(其中e为自然对数的底数).
(1)当时,讨论函数
的单调性;
(2)当时,若不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数在
上单调递增;(2)
.
【解析】
(1)将代入解析式,并求得
,令
并求得
;由
的符号可判断
的单调性,进而求得
,即可由
符号判断函数
的单调性;
(2)根据不等式及函数的解析式,代入后化简变形,并令
,转化为关于
的不等式,分离常数后构造函数
,求得
后,再构造函数
,求得
;由
的符号可判断
的单调性,进而可知存在
使得
,从而判断出
的单调性与极值点,结合函数解析式求得
,即可由恒成立问题求得
的取值范围.
(1)当时,函数
,
则,
令,
则,令
,解得
,
所以当时,
,
在
时单调递减,
当时,
,
在
时单调递增,
即,
所以,
即函数在
上单调递增.
(2)当时,不等式
恒成立,
代入可得,
因为,化简可得
,即
,
令,所以
则不等式可化为,
变形可得,
令,
则,
令,则
,
令,解得
,
当时,
,则
在
内单调递减,
当时,
,则
在
内单调递增,
而,
,
,
所以存在使得
,
从而当时
,则
在
时单调递增;
当时,
,则
在
时单调递减;
当时,
,则
在
时单调递增;
当时,
,则
在
时单调递减.
则在
或
处取得最大值,
而,
,
因为,即
则,
综上可知,的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下
列联表:
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求
的分布列(概率用组合数算式表示);
②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
(下面的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式其中
)
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【题目】多面体欧拉定理是指对于简单多面体,其各维对象数总满足一定的数量关系,在三维空间中,多面体欧拉定理可表示为:顶点数+表面数-棱长数=2.在数学上,富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体,例如富勒烯(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子,具有60个顶点和32个面,其中12个为正五边形,20个为正六边形.除
外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有
,
,
,
,
,
,
,等,则
结构含有正六边形的个数为( )
A.12B.24C.30D.32
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点,(
)在曲线C:
上,直线l过点
且与
垂直,垂足为P.
(Ⅰ)当时,求在直角坐标系下点P坐标和l的方程;
(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段上时,求点P在极坐标系下的轨迹方程.
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【题目】若a,b∈R.则“关于x的方程有两个不等实数根”是“a >|b|+1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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【题目】已知椭圆的长轴长为
,右顶点到左焦点的距离为
,
、
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的切线
(与椭圆
有唯一交点)的方程为
,切线
与直线
和直线
分别交于点
、
,求证:
为定值,并求此定值;
(3)设矩形的四条边所在直线都和椭圆
相切(即每条边所在直线与椭圆
有唯一交点),求矩形
的面积
的取值范围.
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【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在
的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.
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【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
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