【题目】已知椭圆的长轴长为
,右顶点到左焦点的距离为
,
、
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的切线
(与椭圆
有唯一交点)的方程为
,切线
与直线
和直线
分别交于点
、
,求证:
为定值,并求此定值;
(3)设矩形的四条边所在直线都和椭圆
相切(即每条边所在直线与椭圆
有唯一交点),求矩形
的面积
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析,
;(3)
【解析】
(1)由长轴长可得,由右顶点到左焦点的距离为
,进而求解即可;
(2)联立可得
,由相切可得
,则
,分别求得
,
,将
代入,进而求解即可;
(3)分别讨论与
的情况,当
时,设直线
为
,则
,联立直线与椭圆方程,令
可得
,即可代回求得直线
的方程,进而求得直线
与直线
的距离,同理求得直线
与直线
的距离,从而利用均值不等式求解.
(1)由题,因为,
,
所以,
,则
,
所以椭圆的标准方程为.
(2)证明:由(1),
联立可得
,
所以,即
,
对于切线:
,
当时,
;当
时,
,
所以,
,
所以,为定值.
(3)由题,当时,
;
当时,设边
所在直线为切线
:
,
所以,
联立可得
,
则,即
,
所以直线的方程为
;直线
的方程为
,
所以直线和直线
的距离为
,
同理,直线和直线
的距离为
,
所以,
因为,当且仅当
,即
时等号成立,
所以,
综上,
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【题目】已知椭圆的标准方程是
,设
是椭圆
的左焦点,
为直线
上任意一点,过
做
的垂线交椭圆
于点
,
.
(1)证明:线段平分线段
(其中
为坐标原点);
(2)当最小时,求点
的坐标.
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【题目】已知抛物线的焦点到直线
的距离为
,过点
的直线
与
交于
、
两点.
(1)求抛物线的准线方程;
(2)设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,若
,且
与
的交点在抛物线
上,求直线
的斜率和点
的坐标.
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【题目】已知是各项均为正数的无穷数列,数列
满足
(n
),其中常数k为正整数.
(1)设数列前n项的积
,当k=2时,求数列
的通项公式;
(2)若是首项为1,公差d为整数的等差数列,且
=4,求数列
的前2020项的和;
(3)若是等比数列,且对任意的n
,
,其中k≥2,试问:
是等比数列吗?请证明你的结论.
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【题目】给出以下四个命题:
①设是空间中的三条直线,若
,
,则
.
②在面积为的
的边
上任取一点
,则
的面积大于
的概率为
.
③已知一个回归直线方程为,则
.
④数列为等差数列的充要条件是其通项公式为
的一次函数.
其中正确命题的充号为________.(把所有正确命题的序号都填上)
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【题目】某产品自生产并投入市场以来,生产企业为确保产品质量,决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测,并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当时,产品为优等品;当
时,产品为一等品;当
时,产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件,绘制了这500件产品的质量指标
的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本,估计该企业生产该产品的质量情况,并用频率估计概率.
(1)从该企业生产的所有产品中随机抽取4件,求至少有1件优等品的概率;
(2)现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元,购买前,邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测,买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议:从80件产品中随机抽出4件产品进行检测,若检测出3件或4件为优等品,则按每件1600元购买,否则按每件1500元购买,每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元,求X的分布列与数学期望.
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