【题目】已知是各项均为正数的无穷数列,数列
满足
(n
),其中常数k为正整数.
(1)设数列前n项的积
,当k=2时,求数列
的通项公式;
(2)若是首项为1,公差d为整数的等差数列,且
=4,求数列
的前2020项的和;
(3)若是等比数列,且对任意的n
,
,其中k≥2,试问:
是等比数列吗?请证明你的结论.
【答案】(1);(2)
(3)数列
是等比数列.证明见解析
【解析】
(1)先求出,即得数列
的通项公式;
(2)通过分析得到d=1,得到,再求出k=1,即得
,再利用裂项相消法求数列
的前2020项的和;
(3)设公比为q2,则对任意n
,
,由已知得到
,证明得到
,即得数列
是等比数列.
解:(1)因为,所以
,
两式相除,可得,
当n=1时,,符合上式,所以
,
当k=2时,;
(2)因为,且
,
所以,
,
所以,
因为是各项均为正数的无穷数列,
是首项为1,公差d为整数的等差数列,
所以d,k均为正整数,所以,所以
,
所以,解得d≤1,所以d=1,即
.
所以,即
,解得k=1,
所以,则
,
记的前n项和为
,
则,
所以;
(3)因为成等比数列,设公比为q2,则对任意n
,
,
因为,且
,所以
,所以
,
因为,所以
,
所以数列是等比数列.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,且长轴长是短轴长的
倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过椭圆左焦点
的直线
交椭圆
于
两点,点
在
轴非负半轴上,且点
到坐标原点的距离为2,求
取得最大值时
的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点,(
)在曲线C:
上,直线l过点
且与
垂直,垂足为P.
(Ⅰ)当时,求在直角坐标系下点P坐标和l的方程;
(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段上时,求点P在极坐标系下的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆的长轴长为
,右顶点到左焦点的距离为
,
、
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的切线
(与椭圆
有唯一交点)的方程为
,切线
与直线
和直线
分别交于点
、
,求证:
为定值,并求此定值;
(3)设矩形的四条边所在直线都和椭圆
相切(即每条边所在直线与椭圆
有唯一交点),求矩形
的面积
的取值范围.
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【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度(分值:分)进行网上调查,有2000位市民参加了投票,经统计,得到如下频率分布直方图(部分图):
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取位市民召开座谈会,其中满意程度在
的有5人.
(1)求的值,并填写下表(2000位参与投票分数和人数分布统计);
满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与椭圆
相交于
两点,
(
为坐标原点),
为抛物线的焦点,求
面积的最大值.
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【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
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【题目】如图,在三棱锥中,
是边长为2的正三角形,
是等腰直角三角形,
.
(I)证明:平面平面ABC;
(II)点E在BD上,若平面ACE把三棱锥分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,已知点
,
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线
相交于
,
两点,求
的值.
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