【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)当时,若不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若存在,且当
时,
,证明:
.
【答案】(1)当时,单调递增区间为
,无极值;当
时,单调递增区间为
,单调递减区间为
;极小值为
,无极大值;(2)
;(3)详见解析.
【解析】
(1)求出,分类讨论
的取值,根据导数符号可得单调区间和极值;
(2)令,求解导数,分别讨论
时和
时两种情况,结合函数最值,可得实数
的取值范围;
(3)先令,根据导数判断单调性,把条件转化为
,然后构造函数,证明
,进而可证
.
(1),定义域
,
,
(i)当时,
,
在
单调递增,无极值;
(ii)当时,令
,解得
,∴
的单调递增区间为
;
令,解得
,∴
的单调递减区间为
.
此时有极小值
,无极大值.
(2)令,
,
则.
(i)时,
,
在
上单调递减,
∴,
∴恒成立,满足题意.
(ii)时,令
,
,
∴在
上单调递减,
∴,
其中,且
在
上单调递减,
∴根据零点存在性定理,使得
,
即,
;
,
∴,
,
在
上单调递增,
又∵,
∴,
,不满足题意,舍掉;
综上可得.
(3)不妨设,则
.
∵,∴
,
令,
,∴
在
上单增,
∴,从而
;
∴,
即;
下面证明,令
,则
,
即证明,只要证明
,
设,∴
在
上恒成立,
∴在
单调递减,故
.
∴,即
.
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【题目】给定椭圆,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”.若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(1)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(2)点是椭圆
的“准圆”上的动点,过点
作椭圆的切线
交“准圆”于点
.
①当点为“准圆”与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程并证明
;
②求证:线段的长为定值.
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【题目】已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润y(单位:百万元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式: ,
.
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【题目】已知椭圆C:的离心率为
,与坐标轴分别交于A,B两点,且经过点Q(
,1).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若P(m,n)为椭圆C外一动点,过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2,求动点P的轨迹方程,并求△ABP面积的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点,(
)在曲线C:
上,直线l过点
且与
垂直,垂足为P.
(Ⅰ)当时,求在直角坐标系下点P坐标和l的方程;
(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段上时,求点P在极坐标系下的轨迹方程.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC//A
,
为正三角形,M为PD中点.
(1)证明:CM//平面PAB;
(2)若二面角P-AB-C的余弦值为,求直线AD与平面PBD所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆的长轴长为
,右顶点到左焦点的距离为
,
、
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的切线
(与椭圆
有唯一交点)的方程为
,切线
与直线
和直线
分别交于点
、
,求证:
为定值,并求此定值;
(3)设矩形的四条边所在直线都和椭圆
相切(即每条边所在直线与椭圆
有唯一交点),求矩形
的面积
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的焦距为
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与抛物线
相交于
两点,与椭圆
相交于
两点,
(
为坐标原点),
为抛物线的焦点,求
面积的最大值.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,试判断函数
是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)当时,写出
与
的大小关系.
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