Question

椭圆

x2

45

+

y2

20

=1的焦点分别为F₁和F₂，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点．若△ABF₂的面积是20，则直线AB的方程是

y=±

4

3

x

．

Answer 1

分析：由

x2

45

+

y2

20

=1可得焦点分别为F₁和（-5，0），F₂（5，0）
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=0，可求面积，检验是否满足条件
②当直线AB的斜率存在时，可设直线AB的方程y=kx，联立方程

y=kx x2 45 + y2 20 =1

可求A点坐标，而△ABF₂的面积为S=2SAOF2，代入可求k

解答：解：∵

x2

45

+

y2

20

=1中a=3

5

，b=2

5

，c=5，则的焦点分别为F₁和（-5，0），F₂（5，0）
①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=0，此时AB=4

5

S△ABF2=

1

2

AB•5=

1

2

×4

5

×5=10

5

不符合题意
②可设直线AB的方程y=kx
联立方程

y=kx x2 45 + y2 20 =1

可得（4+9k²）x²=180
∴xA=6

5 4+9k2

，yA=

6 5 k

4+9k2

∴AB=2AO=2×

6 5+5k2

4+9k2

∴△ABF₂的面积为S=2SAOF2=2×

1

2

×5×

6 5 k

4+9k2

=20
∴k=±

4

3

∴直线AB的方程y=±

4

3

x
故答案为y=±

4

3

x

点评：本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，一般的处理方法是联立直线与椭圆方程，利用方程的思想，本题还考查了方程的根与 系数关系的应用及一定的计算能力