Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在实数，使得，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出定义域以及，分类讨论，求出大于0和小于0的区间，从而得到的单调区间；

（2）结合（1）的单调性，分类讨论，分别求出和以及函数在上的单调区间以及最小值，从而求出的范围。

（1）的定义域为，.

当时，，则在上单调递增；

当时，由得：﹔由得：.

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。

①当即时，在上单调递增，

不符合题意；

②当即时，在上单调递减，在上单调递增，由，解得：；

③当即时，在上单调递减，由，

解得：．

综上所述：a的取值范围是.