Question

已知数列a_n的首项a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n?N₊，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n-n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件构造一个等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{na_n-n}的通项公式，利用错位相减法即可求出前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
即{a_n-1}是以a₁-1=2-1=1，为首项，公比q=2的等比数列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=1+2^n-1．；
（2）∵a_n=1+2^n-1．，
∴na_n-n=n（1+2^n-1）-n=n•2^n-1，
数列{na_n-n}的前n项和S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1，①
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②，
①-②得，-S_n=1•2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-n•2ⁿ-1=（1-n）•2ⁿ-1，
即S_n=（n+1）•2ⁿ+1．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和问题，利用构造法构造一个等比数列是解决本题的关键，要求熟练掌握错位相减法求和．