Question

已知函数f（x）=log 

1

a

[（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）＞0在[1，

5

4

]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数真数大于0，底数大于0，解得即可．
（2）利用分类讨论的思想，分a＞1和0＜a＜1，两种情况，利用函数的单调性求得．

解答： 解（1）：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得x＞

2

a-1

∴f（x）的定义域是（

2

a-1

，+∞）
（2）：①若a＞1，则0＜

1

a

＜1，即在[1，

5

4

]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，
∴（a-1）x-2为单调增函数，只要

a-1-2＞0 (a-1)× 5 4 -2＜1

，
∴3＜a＜

17

5

②若0＜a＜1，则

1

a

＞1，即在[1，

5

4

]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，
∴（a-1）x-2为单调减函数，只要（a-1）×

5

4

-2＞1，
∴a＞

17

5

∵0＜a＜1，∴a∈∅
综上，a 的取值范围为（3，

17

5

）

点评：本题主要考查了对数函数性质，和利用单调性求参数的取值范围，关键是分类思想．