Question

14．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）．
（1）当a=2时，求关于实数m的不等式f（3m-2）＜f（2m+5）的解集．
（2）求使$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$成立的x值．

Answer 1

分析 （1）由a=2得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，把不等式f（3m-2）＜f（2m+5）化为$\left\{\begin{array}{l}{3m-2＞0}\\{2m+5＞0}\\{3m-2＜2m+5}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）由$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$得出方程x-$\frac{2}{x}$=$\frac{7}{2}$，求出方程的解并检验是否满足条件．

解答 解：（1）由a=2得，函数f（x）=log₂x在定义域（0，+∞）上单调递增，
所以不等式f（3m-2）＜f（2m+5）可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{3m-2＞0}\\{2m+5＞0}\\{3m-2＜2m+5}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$＜m＜7；
（2）由$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$，
得log_a（x-$\frac{2}{x}$）=log_a$\frac{7}{2}$，
即x-$\frac{2}{x}$=$\frac{7}{2}$，
化简得2x²-7x-4=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$或x=4；
检验得x=-$\frac{1}{2}$，x=4都满足题意，
故x=-$\frac{1}{2}$或x=4；．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题．