Question

已知函数f（x）=sinx，对于满足0＜x₁＜x₂＜π的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0；②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；③f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁；④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，
其中正确结论的个数为______．

Answer 1

∵f（x）=sinx在[0，π]上的图象为

由图象知，f（x）在[0，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，π]单调递减，故①错
对于②，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）即为

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

即表示两个点（x₁，f（x₁））；（x₂，f（x₂））与原点连线的斜率，由图知，两个斜率大小不确定，故②错
对于③f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁即

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0即表示两个点（x₁，f（x₁））；（x₂，f（x₂））连线的斜率，由图知，斜率的符号不确定．故③错
对于④，因为由图知，图象呈上凸趋势，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，故④对
故答案为1