Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
（1）令b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题先证明新构造的数列成等比，求出新数列{b_n}的通项，再求出原数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，
∴a₁+1≠0．
∵a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
且a_n+1≠0．
∴

an+1+1

an+1

=2，n∈N^*．
∵b_n=a_n+1，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=2．
∴数列{b_n}是首项为2，公式为2的等比数列．
（2）由（1）可知bn=2n，
a_n的表达式为：an=2n-1．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式，还考查了构造新数列的思想方法，本题难度适中，属于中档题．