Question

在△ABC中，O是其外接圆的圆心，其两边中线的交点是G，两条高线的交点是H，给出下列结论或命题：
（1）动点P满足

AP

=λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

）（λ≠0），则动点P的轨迹一定过点H；
（2）动点P在△ABC所在平面内，则点G与P重合时，使PA²+PB²+PC²的值最小；
（3）动点P满足

AP

=λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）（λ≠0），则点P的轨迹一定过点O；
（4）GH=2OG．
其中正确结论或命题的序号是

 

．（填上所有正确结论或命题的序号）

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：利用重心的性质及向量加减法的几何意义，对四个结论逐一进行判断．

解答： 解：①中，动点P满足

AP

=λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
∴AP平分∠BAC，
∴P点在∠BAC的角平分线上，不一定过点H，故①错误．
②中，点P为△ABC内的一点，且使得

AP

2+

BP

2+

CP

2取得最小值，
根据重心的性质，可得②正确；
③中，

AP

•

BC

=λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）•

BC

=λ（-|

BC

|+|

BC

|）
=0
∴

AP

⊥

BC

∴点P一定在高线上，不一定过点O．故③错．
④在三角形ABC的外接圆中，过点C作直径CM，连MA，MB，则有MB平行且等于2OF，
因为MB⊥BC，AD⊥BC，MA⊥AC，BE⊥AC，所以四边形AMBH是平行四边形，
因此AH=MB=2OF，连接OH交AF于G，三角形OFG与三角形HAG相似，可证G就是重心，所以GH=2OG．故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查了三角形的重心，垂心，外心的性质，以及向量加减法的几何意义，属于难题．