Question

6．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{5si{n}^{2}α+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，-1＜tanα＜0，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$，由此求得tanα 的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα 和cosα，再利用诱导公式求得所给式子的值．

解答 解：（1）∵已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，∴-1＜tanα＜0，
再根据tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$，求得tanα=-3（舍去），或tanα=-$\frac{1}{3}$．
（2）根据$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{1}{3}$，sin²α+cos²α=1，可得sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{5si{n}^{2}α+8sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+11co{s}^{2}\frac{α}{2}-8}{\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{2}）}$=$\frac{{5sin}^{2}α+4sinα+11•\frac{1+cosα}{2}-8}{-\sqrt{2}cosα}$=$\frac{5×\frac{1}{10}+4×\frac{\sqrt{10}}{10}+11×\frac{1-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{2}-8}{-\sqrt{2}×（-\frac{3\sqrt{10}}{10}）}$
=-$\frac{8\sqrt{5}+25\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．