Question

3．已知向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，满足|$\overrightarrow{CA}$|=1，∠ACB=$\frac{π}{2}$，若关于实数x的函数f（x）=|x$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$|-|$\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$|，有唯一的零点，已M为AB的中点，则$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{4}{9}$
• D． -1

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{CB}$|=m，由，∠ACB=$\frac{π}{2}$，得到$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0，根据模的计算得到f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4{m}^{2}}$-$\sqrt{{m}^{2}+1}$，再根据f（x）有唯一的零点，求出m的值，最后根据M为AB的中点和向量的数量积德运算即可求出答案．

解答 解：设|$\overrightarrow{CB}$|=m，m＞0，
∵∠ACB=$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0
∴|x$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$|²=x²+4m²，|$\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$|=m²+1，
∴f（x）=|x$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$|-|$\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{{x}^{2}+4{m}^{2}}$-$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∵f（x）有唯一的零点，
∴f（x）=0有唯一的解，
∴$\sqrt{{x}^{2}+4{m}^{2}}$-$\sqrt{{m}^{2}+1}$=0，
即x²+4m²=m²+1有唯一的解，
即x²=1-3m²有唯一的解，
∴1-3m²=0，
解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴|AB|²=m²+1=$\frac{4}{3}$
∴|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∵M为AB的中点，
∴|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MB}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|cosπ=-$\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了向量的模的计算，数量的运算，以及函数的零点问题，属于中档题．