Question

12．已知二次函数f（x）满足f（0）=f（2），f（1）=-3，且f（x）的图象与x轴的一个交点为（2，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设f（x）在区间[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由已知函数图象的顶点为（1，-3），将（2，0）代入，可得函数f（x）的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式，分类讨论区间[a，a+2]与对称轴的位置关系，可得最小值为h（a）的解析式．

解答 解：（1）∵f（0）=f（2），f（1）=-3，
故函数图象的顶点为（1，-3）
设f（x）=a（x-1）²-3，
又∵f（x）的图象与x轴的一个交点为（2，0）．
∴a-3=0，
解得：a=3，
故f（x）=3（x-1）²-3=3x²-6x；
（2）函数f（x）=3x²-6x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
若a+2＜1，即a＜-1，则x=a+2时，函数f（x）取最小值为，此时h（a）=f（a+2）=3a²+6a，
若a≤1≤a+2，即-1≤a≤1，则x=1时，函数f（x）取最小值为，此时h（a）=f（1）=-3，
若a＞1，则x=a时，函数f（x）取最小值为，此时h（a）=f（a）=3a²-6a，
综上所述：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}3{a}^{2}+6a，a＜-1\\-3，-1≤a≤1\\ 3{a}^{2}-6a，a＞1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．