Question

设f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且满足f（x-1）=-f（x），则方程f（x）=0在区间[-2，2]内至少有（　　）个解．

• A、3
• B、4
• C、5
• D、9

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）是定义在实数集R上的偶函数，可得f（x-1）=f（1-x），f（1-x）+f（x）=0．因此f（x）的图象关于(

1

2

，0)中心对称，关于(-

1

2

，0)也中心对称．即可得出f(

1

2

)=0=f(-

1

2

).f(

3

2

)=-f(

3

2

-1)=-f(

1

2

)=0=f(-

3

2

)．

解答： 解：∵f（x）是定义在实数集R上的偶函数，
∴f（x-1）=f（1-x），其图象关于y轴对称．
∵f（x-1）=-f（x），∴f（1-x）+f（x）=0．
∴f（x）的图象关于(

1

2

，0)中心对称，关于(-

1

2

，0)也中心对称．
∵f(

1

2

-1)=f(-

1

2

)=f(

1

2

)=-f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=0，
∴f(-

1

2

)=0．
∴f(

3

2

)=-f(

3

2

-1)=-f(

1

2

)=0=f(-

3

2

)．
因此方程f（x）=0在区间[-2，2]内至少有4个解．
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性、中心对称，考查了推理能力和计算能力，属于难题．