Question

以下命题中，正确的命题为（　　）

• A、|

  a

  |-|

  b

  |＜|

  a

  +

  b

  |是

  a

  、

  b

  不共线的充要条件
• B、（

  a

  •

  b

  ）•

  c

  =

  b

  •（

  a

  •

  b

  ）=（

  b

  •

  c

  ）•

  a

• C、向量

  a

  在向量

  b

  方向上的射影向量的模为|

  a

  |•cos＜

  a

  ，

  b

  ＞
• D、在四面体ABCD中，若

  AB

  •

  CD

  =0，

  AC

  •

  BD

  =0，则

  AD

  •

  BC

  =0

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：A.

a

、

b

不共线的充要条件是||

a

|-|

b

||＜|

a

+

b

|＜|

a

|+|

b

|，即可判断；
B．由于向量的数量积是数量，且

a

，

b

，

c

不一定共线，即可判断；
C．由向量的数量积的几何意义和模的概念，即可判断；
D．即为在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AC⊥BD，则AD⊥BC．应用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断．

解答： 解：A.

a

、

b

不共线的充要条件是||

a

|-|

b

||＜|

a

+

b

|＜|

a

|+|

b

|，故A错；
B．由于向量的数量积是数量，且

a

，

b

，

c

不一定共线，故B错；
C．由于

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，则向量

a

在向量

b

方向上的射影向量的模为
||

a

|•cos＜

a

，

b

＞|，故C错；
D．即为在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AC⊥BD，则AD⊥BC．
如图作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E是垂心，
则可得出DE⊥BC，进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD，故D对．
故选：D．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和几何意义，向量垂直的条件和向量不共线的充要条件，属于中档题．