Question

已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果对任意的x₁，x₂∈[e²，+∞），有|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）由斜率计算公式可得f（x）=

1+lnx

x

，再利用函数在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值时与参数的关系即可得出；
（（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e²，+∞）单调递减，不妨设x1＞x2≥e2，则|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，?f（x₂）-f（x₁）|≥m(

1

x2

-

1

x1

)⇒f(x2)-

m

x2

≥f(x1)-

m

x1

．?函数F（x）=f（x）-

m

x

在∈[e²，+∞）单调递减，再利用导数研究其单调性即可．

解答： 解：（I）k=f（x）=

1+lnx

x

，f′（x）=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值1．
∵函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值，
∴

0＜a＜1 a+ 1 3 ＞1

，解得

2

3

＜a＜1，
∴实数a的取值范围是(

2

3

，1)．
（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e²，+∞）单调递减，
不妨设x1＞x2≥e2，
则|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|?f（x₂）-f（x₁）|≥m(

1

x2

-

1

x1

)
⇒f(x2)-

m

x2

≥f(x1)-

m

x1

?函数F（x）=f（x）-

m

x

在x∈[e²，+∞）单调递减．
F（x）=

1+lnx

x

-

m

x

，x∈[e²，+∞）．∴F′（x）=-

lnx

x2

+

m

x2

≤0在x∈[e²，+∞）恒成立，
∴m≤lnx在x∈[e²，+∞）上恒成立，
∴m≤2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．