Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知顶点A上三条棱长分别是

2

、

3

、2．如果对角线AC₁与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos²α+cos²β+cos²γ=

 

．

Answer 1

分析：跟据题意知，分别找出对角线AC₁与面AB₁所成的角为∠C₁AB₁=α，与面AD₁所成的角为∠C₁AD₁=β；与面AC所成的角为∠C₁AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos²α+cos²β+cos²γ的值．

解答：解：∵B₁C₁⊥面AB₁，
∴AC₁与面AB₁所成的角为∠C₁AB₁=α；
同理AC₁与面AD₁所成的角为∠C₁AD₁=β；
AC₁与面AC所成的角为∠C₁AC=γ；
∵AB=2，AD=

2

，AA₁=

3

，
∴AC₁=3，AC=

6

，AB=

7

，AD₁=

5

，
∴cosα=

AB1

AC1

=

7

3

，cosβ=

AD1

AC1

=

5

3

，cosγ=

AC

AC1

=

6

3

，
∴cos²α+cos²β+cos²γ=

7

9

+

5

9

+

6

9

=2，
故答案为2．

点评：考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．