【题目】已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.
(1)求证:;
(2)若时,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;
(2)分,两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当,有两个不同的零点,,分析可得的最小值为,分,讨论即得解.
(1)由题意,
令,则,知为的增函数,
因为,,
所以,存在使得,即.
所以,当时,为减函数,
当时,为增函数,
故当时,取得最小值,也就是取得最小值.
故,于是有,即,
所以有,证毕.
(2)由(1)知,的最小值为,
①当,即时,为的增函数,
所以,
,
由(1)中,得,即.
故满足题意.
②当,即时,有两个不同的零点,,
且,即,
若时,为减函数,(*)
若时,为增函数,
所以的最小值为.
注意到时,,且此时,
(ⅰ)当时,,
所以,即,
又
,
而,所以,即.
由于在下,恒有,所以.
(ⅱ)当时,,
所以,
所以由(*)知时,为减函数,
所以,不满足时,恒成立,故舍去.
故满足条件.
综上所述:的取值范围是.
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【题目】受传统观念的影响,中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力,基础教育消费一直是中国家庭教育的重头戏,升学压力的逐渐增大,特别是对于升入重点学校的重视,导致很多家庭教育支出增长较快,下面是某机构随机抽样调查某二线城市2012-2018年的家庭教育支出的折线图.
(附:年份代码1-7分别对应的年份是2012-2018)
(1)从图中的折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请求出相关系数r(精确到0.001),并指出是哪一层次的相关性?(相关系数,相关性很强;,相关性一般;,相关性较弱).
(2)建立y关于t的回归方程;
(3)若2019年该地区家庭总支出为10万元,预测家庭教育支出约为多少万元?
附注:参考数据:,,,,.
参考公式:,回归方程,
其中,.
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【题目】已知,不等式的解集是.
(1)求的解析式;
(2)不等式组的正整数解只有一个,求实数k取值范围;
(3)若对于任意,不等式恒成立,求t的取值范围.
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【题目】某工厂有两台不同机器和生产同一种产品各万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如图所示:
该产品的质量评价标准规定:鉴定成绩达到的产品,质量等级为优秀;鉴定成绩达到的产品,质量等级为良好;鉴定成绩达到的产品,质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.
(1)完成下列列联表,以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过的情况下,认为机器生产的产品比机器生产的产品好;
生产的产品 | 生产的产品 | 合计 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合计 |
(
(3)已知优秀等级产品的利润为元/件,良好等级产品的利润为元/件,合格等级产品的利润为元/件,机器每生产万件的成本为万元,机器每生产万件的成本为万元;该工厂决定:按样本数据测算,若收益之差不超过万元,则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
附:1.独立性检验计算公式:.
2.临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:
①直线与直线的斜率乘积为;
②轴;
③以为直径的圆与抛物线准线相切.
其中,所有正确判断的序号是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.
(1)求点,的极坐标;
(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
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【题目】已知点为抛物线的焦点,点、在抛物线上,且、、三点共线.若圆的直径为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点的直线与抛物线交于点,,分别过、两点作抛物线的切线,,证明直线,的交点在定直线上,并求出该直线.
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【题目】正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,为的中点,、分别是、上的动点(含端点),且满足.当、运动时,下列结论中正确的个数是( )
①平面平面;
②三棱锥的体积为定值;
③可能为直角三角形;
④平面与平面所成的锐二面角范围为.
A.1B.2C.3D.4
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