【题目】正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,
为
的中点,
、
分别是
、
上的动点(含端点),且满足
.当
、
运动时,下列结论中正确的个数是( )
①平面平面
;
②三棱锥的体积为定值;
③可能为直角三角形;
④平面与平面
所成的锐二面角范围为
.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①由得线段MN必过正方形
的中心O,则
平面
,推出面面垂直;②由
的面积不变,点N到平面
的距离不变得到三棱锥
的体积为定值;③利用反证法说明
不可能为直角三角形;④设三棱柱棱长为a,
,建立空间直角坐标系,利用向量法表示出平面
与平面
所成二面角的余弦值,根据t的范围求出
的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围.
①如图当M、N分别在、
上运动时,若满足
,则线段MN必过正方形
的中心O,而
平面
,所以平面
平面
,①正确;
②当M、N分别在、
上运动时,
的面积不变,点N到平面
的距离不变,所以棱锥
的体积不变,即三棱锥
的体积为定值,②正确;
③设三棱柱棱长为a,,由
易知
且
,
,
若为直角三角形则
,
,
所以,化简得
,
解得或
,均不符合题意,所以
不可能为直角三角形,③错误;
④建立如图所示空间直角坐标系:
设三棱柱棱长为a,,则
,
,
设为平面DMN的法向量,则
,
令可得平面DMN的一个法向量为
,
易知为平面ABC的一个法向量,
设平面与平面
所成二面角为
,则
,
因为,所以
,
所以平面与平面
所成的锐二面角范围为
,④正确.
故选:C
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【题目】凤鸣山中学的高中女生体重 (单位:kg)与身高
(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据
(
),用最小二乘法近似得到回归直线方程为
,则下列结论中不正确的是( )
A.与
具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点
C.若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg.
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【题目】以直角坐标系的原点为极坐标系的极点,
轴的正半轴为极轴.已知曲线
的极坐标方程为
,
是
上一动点,
,点
的轨迹为
.
(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;
(2)若点,直线
的参数方程
(
为参数),直线
与曲线
的交点为
,当
取最小值时,求直线
的普通方程.
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【题目】国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查,派出10人的调查组,先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查,然后打分(满分100分),他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示:
(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”,并说明理由;
(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个,在已知有大于80分的条件下,求抽到乙城市的分数都小于80分的概率.
(参考数据:,
)
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【题目】如图,是南北方向的一条公路,
是北偏东
方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线
.为方便游客光,拟过曲线
上的某点分别修建与公路
,
垂直的两条道路
,
,且
,
的造价分别为5万元
百米,40万元
百米,建立如图所示的直角坐标系
,则曲线符合函数
模型,设
,修建两条道路
,
的总造价为
万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
(1)求解析式;
(2)当为多少时,总造价
最低?并求出最低造价.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是
且边长为
的菱形,侧面
为正三角形,其所在平面垂直于底面
.
(1)若为
边的中点,求证:
平面
.
(2)求证:.
(3)若为
边的中点,能否在
上找出一点
,使平面
平面
?
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【题目】以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与
的随机变量
的观测值
来说,
越小,判断“
与
有关系”的把握越大;其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
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【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | 合计 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 30 | 60 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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