Question

3．定义一种运算a?b=$\left\{\begin{array}{l}a，（{a≤b}）\\ b，（{a＞b}）\end{array}$，令f（x）=（cos²x+sinx）?$\frac{3}{2}$，且x∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}$]，则函数f（x-$\frac{π}{2}}$）的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意求得f（x）=1-sin²x+sinx，可得f（x-$\frac{π}{2}}$）=$\frac{5}{4}$-${（cosx+\frac{1}{2}）}^{2}$．由x∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}$]，可得cosx∈[0，1]，利用二次函数的性质求得函数f（x-$\frac{π}{2}}$）取得最大值．

解答 解：由于cos²x+sinx=$\frac{5}{4}$-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$＜$\frac{3}{2}$，∴f（x）=（cos²x+sinx）?$\frac{3}{2}$=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx，
∴函数f（x-$\frac{π}{2}}$）=1-sin²（x-$\frac{π}{2}$）+sin（x-$\frac{π}{2}$）=1-cos²x-cosx=$\frac{5}{4}$-${（cosx+\frac{1}{2}）}^{2}$．
由x∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}$]，∴cosx∈[0，1]，故当cosx=0时，函数f（x-$\frac{π}{2}}$）取得最大值为1，
故选：D．

点评 本题主要考查新定义，同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，属于基础题．