Question

15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a²=（2b+c）b+（2c+b）c．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可求A的大小；
（2）求出B+C=60°，利用两角和差的正弦公式即可求sinB+sinC的最大值．

解答 解：（1）∵2a²=（2b+c）b+（2c+b）c．
∴2a²=2b²+2c²+2bc．
即b²+c²-a²=-bc，
则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$，
∴A=120°
（2）∵A=120°，
∴B+C=60°，0°＜B＜60°
则sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=sin（B+60°），
∵0°＜B＜60°，
∴60°＜B+60°＜120°，
即当B+60°=90°，
即当B=30°时，sinB+sinC最大，最大值为1．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．