Question

4．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=e³f（2），b=e²f（3），则a，b的大小关系是（　　）

• A． a＞b
• B． a＜b
• C． a=b
• D． 无法确定

Answer 1

分析 构造新函数$g（x）=\frac{{e}^{5}f（x）}{{e}^{x}}$，研究其单调性即可．

解答 解：令g（x）=f（x）•e^5-x
则$g（x）=\frac{{e}^{5}f（x）}{{e}^{x}}$，
$g′（x）=\frac{{e}^{5}[f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}]}{{e}^{2x}}$
=$\frac{{e}^{5}[f′（x）-f（x）]}{{e}^{x}}$
对任意的x≥0，f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在定义域上是增函数，
∴g（2）＜g（3）
故答案选：B

点评 本题考查函数的单调性，构造新函数是解决本题的关键，属于中档题．