Question

已知函数f（x）=

ax， x＜0 (a-2)x+2a， x≥0

，若对任意x_x≠x₂，都有

f(x1)-f(x )

x1-x2

＜0成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、（

  1

  2

  ，1）
• C、（1，2）
• D、（-1，2）

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件可得，f（x）在R上是单调递减函数，则0＜a＜1①，a-2＜0，即a＜2②，a⁰≥（a-2）×0+2a③，求出它们的交集即可．

解答： 解：由于对任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
则f（x）在R上是单调递减函数，
当x＜0时，y=a^x为减，则0＜a＜1；①
当x≥0时，y=（a-2）x+5a为减，则a-2＜0，即a＜2；②
由于f（x）在R上是单调递减函数，
则a⁰≥（a-2）×0+2a，解得a≤

1

2

．③
由①②③得，0＜a≤

1

2

．
故选A．

点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的单调性，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于中档题和易错题．