Question

15．函数f（x）=sinx（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$在区间（$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$）上的零点是x=$\frac{5π}{8}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式和辅助角公式化简，令f（x）=0，合三角函数的性质求解在区间（$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$）上的值，即零点

解答 解：函数f（x）=sinx（sinx+cosx）-$\frac{1}{2}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∵x∈（$\frac{3π}{8}$，$\frac{3π}{4}$）
∴2x-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{4}$）
令f（x）=0，即sin（2x-$\frac{π}{4}$）=0
可得：2x-$\frac{π}{4}$=π，
∴x=$\frac{5π}{8}$．
故答案为：x=$\frac{5π}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和性质的运用．属于基础题．