Question

15．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等差数列；
（2）若$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）$\frac{a_n}{n}=1+（n-1）•1=n$，可得${a_n}={n^2}$．即$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n^2}$．当n=1时，T₁=b₁=1＜2；当n≥2时，$b{\;}_n=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，即可证明．

解答 证明：（1）由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，
所以数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$为首项，1为公差的等差数列…（5分）
（2）由（1）$\frac{a_n}{n}=1+（n-1）•1=n$，
所以${a_n}={n^2}$．即$b{\;}_n=\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n^2}$，
当n=1时，T₁=b₁=1＜2；
当n≥2时，$b{\;}_n=\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{（n-1）n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
所以${T_1}={b_1}+{b_2}+…+b{\;}_n≤1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）≤2-\frac{1}{n}＜2$，
综上：对n∈N^*，T_n＜2．…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．