Question

3．已知函数f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$，g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．
（Ⅰ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若对任意的${x_1}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用降次公式和二倍角公式将f（x）化简，$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得f（x）的值域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$f（x）的值域；值域求解x₂∈[0，π]，g（x₂）的最大值即可，求解即可，需要对m进行讨论哦．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$+\frac{1}{2}$=1-sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
∴$-\frac{1}{2}≤$sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1．
故得$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时函数f（x）的值域为[0，$\frac{3}{2}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$f（x）的最小值为0，
对任意的${x_1}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，x₂∈[0，π]，均有f（x₁）≥g（x₂）
只需要0≥g（x）_max即可．
∵g（x）=mcos（x+$\frac{π}{3}$）-m+2．x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]
∴-1≤cos（x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
当m≥0时，g（x）_max=$\frac{m}{2}-m+2$，
∴$\frac{m}{2}-m+2$≤0，
解得：m≥4．
当m＜0时，g（x）_max=-m-m+2，
∴-2m+2≤0，
解得：m≥1．
∴无解．
综合上述，可得m的取值范围[4，+∞）．

点评 本题考查三角函数的化简能力以及有界性的运用求出参数取值范围的问题，考查转化思想以及计算能力．