Question

14．设$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$围成的区域为D，P（x，y）为D内的一个动点，则x+2y的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，6]．

Answer 1

分析 作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$所对应的可行域，变形目标函数可得y=x+2y，平移直线可得最大值，利用函数的导数切线求解最小值．

解答 解：作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x-2y+2≥0\\{x^2}-4y≤0\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
变形目标函数z=x+2y，
可得y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
平移直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$可得当直线经过点A时，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$解得A（2，2），z=x+2y取最大值6，
y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，可得y′=$\frac{1}{2}x$．切点坐标（m，n）.$\frac{1}{2}m$=$-\frac{1}{2}$，m=-1．则f（-1）=$\frac{1}{4}$．
当直线经过切点时，z=x+2y取最小值：-1+2×$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴z=x+2y的取值范围为：[-$\frac{1}{2}$，6]
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，6]．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．