Question

13．若实数a，b，c，d满足（b-lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题设条件：b-lna=0，设b=y，a=x，得到y=lnx；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵（b-lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b-lna=0且c-d+2=0，
即b=lna，c-d+2=0，
设y=lnx，y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=lnx与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=lnx求导：y′=$\frac{1}{x}$，
与直线y=x+2平行的切线斜率k=1=$\frac{1}{x}$，
解得：x=1，
将x=1代入y=lnx得：y=0，即切点坐标为（1，0），
∴切点到直线y=x+2的距离d=$\frac{1-0+2}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即d²=$\frac{9}{2}$，
则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 此题考查导数在求解函数最值中的应用，以及对数运算法则的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用以及转化思想的应用．