Question

10．一袋子中有10个大小相同标有数字的小球，其中4个小球标有数字1，3个小球标有数字2，2个小球标有数字3，1个小球标有数字4．从袋子中任取3个小球．
（Ⅰ）求所取的3个小球中所标有数字恰有两个相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取的3个小球所标数字的最大值，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用古典概型的概率公式求解即可；
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，4，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可．

解答 解：（Ⅰ）所取的三个小球中，
所标数字恰有两个相同的概率为$P=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}+\frac{C_3^2C_7^1}{{C_{10}^3}}+\frac{C_2^2C_8^1}{{C_{10}^3}}=\frac{13}{24}$．
…（4分）
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，4．…（5分）
$P（X=1）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$；…（6分）
$P（X=2）=\frac{C_3^1C_4^2}{{C_{10}^3}}+\frac{C_3^2C_4^1}{{C_{10}^3}}+\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{31}{120}$；…（7分）
$P（X=3）=\frac{C_2^1C_7^2}{{C_{10}^3}}+\frac{C_2^2C_7^1}{{C_{10}^3}}=\frac{49}{120}$；…（8分）
$P（X=4）=\frac{C_1^1C_9^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$；…（9分）

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{31}{120}$	$\frac{49}{120}$	$\frac{3}{10}$

…（10分）$E（X）=1×\frac{1}{30}+2×\frac{31}{120}+\;3×\frac{49}{120}+4×\frac{3}{10}=\frac{119}{40}$．…（12分）

点评 本题考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．