Question

已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,对数函数图象与性质的综合应用

专题：导数的综合应用

分析：通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

；

解答： 解：∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln

x

4-x

．
∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，
不妨设a+b=4，
则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•

a+b

2

ln（

a+b

2

）=（a+b）ln

a+b

2

．
∴alna+blnb≥（a+b）ln

a+b

2

．

点评：本题考查函数的导数的应用，不等式的证明方法，考查转化思想的应用．