Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧楞AA₁垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=AA₁=2BC，E为DD₁的中点，F为A₁D的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC；
（2）求直线EF与平面A₁CD所成角θ的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）EF是△DA₁C的中位线，得到EF∥A₁C，从而证得EF∥平面A₁BC．
（2）建立坐标系，设BC=1，则A₁（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，2，1），F（0，1，1），求出平面A₁CD的法向量，

EF

，利用向量的夹角公式，即可求直线EF与平面A₁CD所成角θ的正弦值．

解答： （1）证明：∵E为DD₁的中点，F为A₁D的中点，
∴EF是△DA₁C的中位线，∴EF∥A₁C．
∵A₁C?面A₁BC，EF?面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC．
（2）解：建立如图所示的坐标系，设BC=1，则A₁（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，2，1），F（0，1，1），

∴

EF

=（0，-1，0），

A1C

=（2，1，-2），

A1D

=（0，2，-2），
设平面A₁CD的法向量为

n

=（x，y，z），则

2x+y-2z=0 2y-2z=0

，取

n

=（1，2，2），
∴直线EF与平面A₁CD所成角θ的正弦值为

2

1+4+4 • 1

=

2

3

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，考查直线EF与平面A₁CD所成角θ的正弦值，考查向量法的运用，属于中档题．