Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

，D、E分别是AB、BB₁的中点，且AC=BC=AA₁=2．
（1）求证：直线BC₁∥平面A₁CD；
（2）求平面A₁CD与平面A₁C₁E所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线BC₁∥平面A₁CD．
（2）分别求出平面A₁C₁E的法向量和平面A₁CD的法向量，利用向量法能求出平面A₁CD与平面A₁C₁E所成角的正弦值．

解答： （1）证明：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），
C（0，0，0），A（2，0，0），D（1，1，0），

BC1

=（0，-2，2），

CA1

=（2，0，2），

CD

=（1，1，0），
设平面A₁CD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • CA1 =2x+2z=0 n • CD =x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
∵

n

•

BC1

=0+2-2=0，且BC₁不包含于平面A₁CD，
∴直线BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：∵E（0，2，1），
∴

C1A1

=（2，0，0），

C1E

=（0，2，-1），
设平面A₁C₁E的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • C1A1 =2a=0 m • C1E =2b-c=0

，
取b=1，得

m

=（0，1，2），
设平面A₁CD与平面A₁C₁E所成角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

0-1-2

3 • 5

|=

3

5

，
∴sinθ=

1- 3 5

=

10

5

．
∴平面A₁CD与平面A₁C₁E所成角的正弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．